纸上谈兵: 图 (graph)

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

图(graph)是并也有比较松散的数据型态。它有因此 节点(vertice),在因此 节点之间,由(edge)相连。节点的概念在树中也出显过,亲戚亲戚朋友通常在节点中储存数据。边表示二个 节点之间的位于关系。在树中,亲戚亲戚朋友用边来表示子节点和父节点的归属关系。树是并也有特殊的图,但限制性更强因此 。

原来的并也有数据型态是很常见的。比如计算机网络,就是由因此 节点(计算机愿因路由器)以及节点之间的边(网线)构成的。城市的道路系统,也是由节点(路口)和边(道路)构成的图。地铁系统也可能否不能 理解为图,地铁站可能否不能 认为是节点。基于图有因此 经典的算法,比如求图中二个 节点的最短路径,求最小伸展树等。

图的经典研究是柯尼斯堡七桥问提(Seven Bridges of Königsberg)。柯尼斯堡是现今的加里宁格勒,城市中有 每根河流过,河中二个 小岛。有七座桥桥连接河的两岸和二个 小岛。送信员总想知道,有没二个 办法,能不重复的走过7个桥呢?

(你这俩 问提在因此 奥数教材中称为"一笔画"问提)

欧拉时代的柯尼斯堡地图

柯尼斯堡的可能否不能 看作由7个边和二个 节点构成的二个 图:

你这俩 问提最终被欧拉巧妙的除理。七桥问提也启发了一门新的数学学科——图论(graph theory)的诞生。欧拉的基本思路是,愿因某个节点也有起点愿因终点,这麼 连接它的边的数目能否 为偶数个(从二个 桥进入,再从原来桥失去)。对于柯尼斯堡的七桥,愿因二个 节点都为奇数个桥,而最多可能否不能了二个 节点为起点和终点,全都不愿因一次走完。

图的定义

严格的说,图[$G = (V, E)$]是由节点的集合V和边的集合E构成的。二个 图的所有节点构成二个 集合[$V$]。二个 边可能否不能 表示为[$(v_1, v_2)$],其中[$v_1, v_2 \in V$],即二个 节点。愿因[$(v_1, v_2)$]有序,即[$(v_1, v_2)$]与[$(v_2, v_1)$]不同,这麼 图是有向的(directed)。有序的边可能否不能 理解为单行道,可能否不能了沿二个 方向行进。愿因[$(v_1, v_2)$]无序,这麼 图是无向的(undirected)。无序的边可能否不能 理解成双向都可能否不能 行进的道路。二个 无序的边可能否不能 看作连接相同节点的二个 反向的有序边,全都无向图可能否不能 理解为有向图的并也有特殊状况。

(七桥问提中的图是无向的。城市中的公交线路可能否不能 是无向的,比如位于单向环线)

图的二个 路径(path)是图的一系列节点[$w_1, w_2, ..., w_n$],且对于[$1 \le i < n $],有[$ (w_i, w_{i+1}) \in E$]。也却话语,路径是一系列的边连接而成,路径的两端为二个 节点。路径上边的总数称为路径的长度。乘坐地铁时,亲戚亲戚朋友会在选用某个路径,来从A站到达B站。原来的路径愿因有不止每根,亲戚亲戚朋友往往会根据路径的长度以及沿线的拥挤状况,来选用每根最佳的路线。愿因位于每根长度大于0的路径,该路径的两端为同一节点,这麼 认为该图中位于环路(cycle)。很明显,上海的地铁系统中位于环路。

 

找到每根环路

愿因从每个节点,到任意二个 其它的节点,也有每根路径话语,这麼 图是连通的(connected)。对于二个 有向图来说,原来的连通称为强连通(strongly connected)。愿因二个 有向图不满足强连通的条件,但将它的所有边都改为双向的,此时的无向图是连通的,这麼 认为该有向图是弱连通(weakly connected)。

愿因将有火车站的城市认为是节点,铁路是连接城市的边,原来的图愿因是不连通的。比如北京和费城,北京有铁路通往上海,费城有铁路通往纽约,但北京和费城之间这麼 路径相连。

图的实现

并也有简单的实现图的办法是使用二维数组。让数组a的每一行为二个 节点,该行的不同元素表示该节点与因此 节点的连接关系。愿因[$(u, v) \in E$],这麼 a[u][v]记为1,因此 为0。比如下面的二个 中有 二个 节点的图:

 

可能否不能 简单表示为

a 1 2 3
1 0 1 1
2 0 0 0
3 0 1 0

你这俩 实现办法所位于的空间为[$O(|V|^2)$],[$|V|$]为节点总数。所需内存随着节点增加而迅速增多。愿因边也有很密集,这麼 全都数组元素记为0,可能否不能了稀疏的因此 数组元素记为1,全都虽然是很经济。

更经济的实现办法是使用,即记录每个节点所有的相邻节点。对于节点m,亲戚亲戚朋友建立二个 链表。对于任意节点k,愿因有[$(m, k) \in E$],就将该节点倒进到对应节点m的链表中。邻接表是实现图的标准办法。比如下面的图,

 

可能否不能 用如下的数据型态实现:

 

左侧为二个 数组,每个数组元素代表二个 节点,且指向二个 链表。该链表包中有 该数组元素所有的相邻元素。

总体上看,邻接表可能否不能 分为两偏离 。邻接表所位于的总空间为[$O(|V| + |E|)$]。数组偏离 储存节点信息,位于[$|V|$])的空间,即节点的总数。链表存储边的信息,位于[$|E|$]的空间,即边的总数。在因此 简化的问提中,定点和边还愿因有因此 的附加信息,亲戚亲戚朋友可能否不能 将你这俩 附加信息储位于相应的节点愿因边的位置。

下面为具体的C代码:

/* By Vamei */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define NUM_V 5

typedef struct node *position;

/* node */
struct node {
    int element;
    position next;
};

/* 
 * operations (stereotype)
 */
void insert_edge(position, int, int);
void print_graph(position graph, int nv);

/* for testing purpose */
void main()
{
    struct node graph[NUM_V];
    int i;

    // initialize the vertices
    for(i=1; i<NUM_V; i++) {
        (graph+i)->element = i;
        (graph+i)->next    = NULL;
    }

    // insert edges
    insert_edge(graph,1,2);
    insert_edge(graph,1,4);
    insert_edge(graph,3,2);
    insert_edge(graph,4,2);
    insert_edge(graph,4,3);

    print_graph(graph,NUM_V);
}

/* print the graph */
void print_graph(position graph, int nv) {
    int i;
    position p;
    for(i=1; i<nv; i++) {
        p = (graph + i)->next;
        printf("From %3d: ", i);
        while(p != NULL) {
            printf("%d->%d; ", i, p->element);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

/*
 * insert an edge
 */
void insert_edge(position graph,int from, int to)
{
    position np;
    position nodeAddr;

    np = graph + from;

    nodeAddr = (position) malloc(sizeof(struct node));
    nodeAddr->element = to;
    nodeAddr->next    = np->next;
    np->next = nodeAddr;
}

运行结果:

From   1: 1->4; 1->2;

From   2:

From   3: 3->2;

From   4: 4->3; 4->2;

上边的实现主要基于链表,可参考纸上谈兵: 表 (list) 。

总结

图是并也有很简单的数据型态。图的组织办法比较松散,自由度比较大,但也造成比较高的算法简化度。我将在时候介绍因此 图的经典算法。

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